Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. Zaznaczyć jednak należy, że nie ma w tej kwestii 6. (3 pkt) Które wyrazy nieskończonego ciągu (a n) o wyrazie ogólnym a n = 2n2 – 11n + 5 są równe 0? 7. (3 pkt) Wiadomo, że nieskończony ciąg (a n) jest niemotonicznym ciągiem geometrycz-nym, w którym wyraz pierwszy jest równy 3, a piąty 48. Oblicz iloraz q oraz sumę pięciu początkowych wyrazów tego ciągu. 8. liczby . Zatem . Cztery wyrazy ciągu to liczby całkowite. Przykład 4 Znajdziemy najmniejszy wyraz ciągu określonego wzorem ogólnym . Wykres ciągu składa się z punktów leżących na paraboli, będącej wykresem funkcji . Ramiona paraboli skierowane są ku górze, więc najmniejsza wartość funkcji znajduje się w wierzchołku paraboli. Zbadaj monotoniczność ciągu: a_n=2^n Które wyrazy ciągu a_n=(n+8)/(n+1) są mniejsze niż 2? Między liczby 4 i 972 wstaw cztery liczby tak, aby wraz z podanymi liczbami tworzyły ciąg geometryczny. Znajdź taką liczbę x, aby liczby: 3x+1,2x-4,5x+3 w podanej kolejności tworzyły ciąg arytmetyczny. W ciągu geometrycznym a_10=64√2 i matematykaszkolna.pl. ILE WYRAZÓW CIĄGU JEST MNIEJSZYCH 100 lolly: ile wyrazów ciągu an=5n−16 jest mniejszych od 100? jak to zrobić? jest na to jakiś wzór? czy liczyć wszystko po kolei? ICSP: a n <100 5n − 16<100 Pamiętaj że wyrazy mogę być tylko naturalne. lolly: wyszło 23,5 czyli 23 wyrazy są mniejsze od 100? W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a n) dane są wyrazy a 5 =-7 i a 9 = 13. Ile wyrazów tego ciągu to dodatnie liczby całkowite dwucyfrowe? Liczby całkowite dwucyfrowe są mniejsze od 100 i większe od 9. Z tego wynika, że musimy rozwiązać nierówność a n < 100 i a n > 9. Wyznaczymy wzór ogólny tego ciągu. Rozwiązaniem układu 6I0v. Które wyrazy ciągu an są większe od liczby m?a) 10 - n^2 m= 0b) 2^n - 6 m= 10Które wyrazy ciągu an są równe 1?n^2 - 6n +15/ +3(-1)^ nJeśl ktoś by był tak miły i mi wytłumaczył jak się tego typu zadania robi będe bardzo wdzięczna :). xirrus09 1. masz obliczyc ktore wyrazy sa wieksze czyli mamy taka nierownosca) 10->010>16n>4n∈N₊n∈2^4Żeby sprawdzić wystarczy podstawić do wzoru. 2. a) n^2 - 6n +15/ -n +3=1 b)(-1)^n = 1jeżeli n jest liczbą parzystą More Questions From This User See All rodzaje zadań MATERIAŁ MATURALNY > ciągi RODZAJE ZADAŃ Na podstawie wzoru ciągu, oprócz określenia jego monotoniczności (poprzedni podrozdział), powinniśmy potrafić odpowiedzieć na kilka podstawowych pytań:1) Czy istnieje dany wyraz ciągu? 2) Który wyraz ciągu przyjmuje daną wartość? 3) Ile wyrazów (lub: które wyrazy) ciągu przyjmuje wartość dodatnią/ujemną? 4) Ile wyrazów (lub: które wyrazy) ciągu przyjmuje wartość większą/mniejszą od danej liczby? Odpowiedź na każde z powyższych pytań wymaga w zasadzie rozwiązania konkretnego równania/nierówności. Mogą to być równania różnego typu, co uzależnione jest od wzoru ciągu (liniowe, kwadratowe, wykładnicze …). Wszystkie typy przedstawiliśmy w poprzednich przedstawienia, jak dokładnie się to odbywa, przedstawimy cztery przykłady, odpowiadające czterem przedstawionym powyżej pytaniom. 1) Czy istnieje wyraz ciągu o wzorze ogólnym o wartości 2?Aby odpowiedzieć na to pytanie, podstawiamy do wzoru wartość 2 (uwaga: wartość konkretnego wyrazu to an), a następnie rozwiązujemy powstałe równanie. Obliczamy w ten sposób „n” (numer wyrazu).Dla przykładu: Po rozwiązaniu równania interpretujemy wynik. Kluczowym jest fakt, że „n” przyjmuje wartości naturalne (1, 2, 3..). Jeżeli otrzymamy inny wynik, oznacza to, że nie ma takiego wyrazu ciągu. Odpowiedź: Nie istnieje wyraz ciągu o wzorze ogólnym an= 3n – 5 o wartości 2. 2) Który wyraz ciągu o wzorze ogólnym przyjmuje wartość -10?Podobnie jak w przypadku poprzedniego pytania podstawiamy do wzoru daną wartość (-10) i obliczamy „n”(numer wyrazu). Odpowiedź: Wartość -10 przyjmuje czwarty wyraz ciągu. 3) Ile wyrazów ciągu o wzorze ogólnym przyjmuje wartość ujemną?W przeciwieństwie do dwóch poprzednich pytań, nie mamy do czynienia z konkretną wartością. Wartość ma być ujemna, czyli mniejsza od zera. Szukamy takich „n” dla których po podstawieniu do wzoru ciągu otrzymamy wartość mniejszą od zera. Będziemy mieć do czynienia z nierównością: Interpretujemy wynik. Chodzi o wyrazy o numerze mniejszym od 7,5 (pamiętajmy: muszą to być liczby naturalne), czyli wyrazy o numerach: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Mamy więc siedem takich Wartości ujemne przyjmuje siedem wyrazów ciągu. 4) Które wyrazy ciągu o wzorze ogólnym przyjmują wartość większą lub równą 8?Tutaj, tak jak w poprzednim typie, będziemy mieli do czynienia z nierównością. W tym wypadku wartość nie ma być większa/mniejsza od zera, ale od innej liczby. Należy także zwrócić uwagę na sformułowanie dotyczące znaku nierówności – tutaj chodzi o wartość większą lub równą 8, a więc będziemy mieli do czynienia ze znakiem większa lub równa (). Odpowiedź: Dany ciąg nie ma wyrazów o wartości większej lub równej 8. Odpowiedzi EKSPERTHerhor odpowiedział(a) o 13:44 Po prostu trzeba rozwiązać nierównościn^3-5n^2-5n+25 n^2(n-5) -5(n-5) (n-√5)(n+√5)(n-5)3 ---> n^3-5n^2-5n+22>0(no, tu trudniej znaleźć miejsca zerowe lewej strony, ale też trzeba rozłożyć na czynniki i posprawdzać znaki między miejscami zerowymi ) Uważasz, że ktoś się myli? lub zapytał(a) o 19:14 Które wyrazy ciągu...? Które wyrazy ciągu an = n^2 - 4n są mniejsze od 6?Jak to policzyć? Odpowiedzi Matt_18 odpowiedział(a) o 19:22 oblicz a1, a2, a3, a4 itd. za n wstawiasz liczbę przy a czyli numer porządkowy wyrazu ciągu (np. 1 wyraz ciągu to a1 czyli 1^2-4*1=-3)Ale chyba 5 wyraz ciągu czyli a5 jest ostatni jak tak teraz patrzę a da się to policzyć z nierówności? Matt_18 odpowiedział(a) o 19:29: Niby możesz się pobawić tak, ale chyba delta wyjdzie taka, że nie spierwiastkujesz tego do całkowitej i chyba będzie więcej zabawy niż z liczeniem z partyzanta Matt_18 odpowiedział(a) o 19:31: Delta to 40, a pierwiastek z 40 to 6,32 więc trochę lipton Uważasz, że ktoś się myli? lub Ta strona należy do działu: Matematyka poddziału CiągiStronę tą wyświetlono już: 1722 razy Wstęp W celu poprawnego zrozumienia dalszej części tej strony, należy zrozumieć istotę zdania prawie wszystkie wyrazy ciągu, które oznacza elementy ciągu nieskończonego z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczy wyrazów. Jest to istotne, gdyż w dalszej części tej strony dla uproszczenia (skrócenia) niektórych definicji będę posługiwał się zdaniem prawie wszystkie wyrazy ciągu. Granica właściwa ciągu Liczba q jest granicą ciągu nieskończonego (an), jeżeli do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy ciągu (an), co zapisuje się: [1] Zapis wyrażenia w formacie TeX-a: a_n\rightarrow g lub [2] Zapis wyrażenia w formacie TeX-a: \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=g Matematyczny zapis powyższej definicji granicy właściwej ciągu: [3] Zapis wyrażenia w formacie TeX-a: \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=g\Leftrightarrow \bigwedge_{\varepsilon> 0}\bigvee_{m\in N^+}\bigwedge_{n> m}|a_n-g| m}a_n>M Poniżej pokazana została interpretacja graficzna powyższej definicji dla przykładowego ciągu. Jak widać prawie wszystkie elementy tegoż ciągu leżą powyżej obranej wartości M = 3. Co ważne, niezależnie od tego jaką wartość przyjmie M i tak zawsze nieskończona liczba elementów tego ciągu będzie się nad nią mieściła. 012345678910012345678910Punkty ciąguM = 3 Rys. 1 Przykład ciągu posiadającego granicę niewłaściwą w +∞ Źródło: Ciąg an jest rozbieżny → -∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie elementy ciągu są mniejsze od M, co zapisuje się: [6] Zapis wyrażenia w formacie TeX-a: \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty Zapis matematyczny powyższej definicji: [7] Zapis wyrażenia w formacie TeX-a: \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty\Rightleftarrow \bigwedge_{M\in R}\bigvee_{m\in N^+}\bigwedge_{n> m}a_n Jeżeli dany jest ciąg (an), dla którego wartości bezwzględnej granica jest równa &infty; dla n → &infty; to granica ciągu odwrotego będzie równa 0 co zapisać można w następujący sposób: [8] Zapis wyrażenia w formacie TeX-a: \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{a_n}=0 Jeżeli dany jest ciąg (an), którego każdy element jest większy od zera i granica takiego ciągu jest równa zero to granica ciągu odwrotnego tego ciągu będzie równa +∞ co zapisać można w następujący sposób: [9] Zapis wyrażenia w formacie TeX-a: \left(\bigwedge_{n\in N^+}a_n>0 \wedge \lim_{n\rightarrow\infty}=0\right)\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{a_n}=+\inftyPropozycje książek

które wyrazy ciągu an są mniejsze od liczby m